Сумма трех квадратов - это математическое выражение вида a² + b² + c², где a, b и c - любые действительные числа. Это понятие имеет важное значение в алгебре, геометрии и теории чисел.
Содержание
Сумма трех квадратов - это математическое выражение вида a² + b² + c², где a, b и c - любые действительные числа. Это понятие имеет важное значение в алгебре, геометрии и теории чисел.
Основные свойства суммы трех квадратов
- Всегда неотрицательна: a² + b² + c² ≥ 0
- Равна нулю только когда все числа нулевые: a = b = c = 0
- Подчиняется коммутативному закону: a² + b² + c² = b² + a² + c²
- Сохраняется при перестановке слагаемых
Геометрическая интерпретация
В трехмерном пространстве сумма квадратов представляет:
| Объект | Формула |
| Квадрат длины вектора | |v|² = x² + y² + z² |
| Расстояние между точками | d² = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)² |
Теорема о трех квадратах (Лежандра)
Натуральное число n можно представить в виде суммы трех квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда n не имеет вида 4ᵃ(8b+7), где a и b - целые неотрицательные числа.
Примеры представления чисел
| Число | Разложение |
| 6 | 1² + 1² + 2² |
| 14 | 1² + 2² + 3² |
| 29 | 2² + 3² + 4² |
Применение в физике
Сумма трех квадратов встречается в различных физических формулах:
- Кинетическая энергия: K = ½m(vₓ² + vᵧ² + v_z²)
- Теорема Пифагора в пространстве
- Вычисление модуля вектора
Алгебраические преобразования
Сумму трех квадратов можно преобразовать:
- a² + b² + c² = (a+b+c)² - 2(ab+ac+bc)
- a² + b² + c² = ½[(a-b)² + (b-c)² + (a-c)²] + ab + ac + bc
Частные случаи
- Если a + b + c = 0, то a² + b² + c² = -2(ab+ac+bc)
- Для равных чисел: a² + a² + a² = 3a²
